Question

11．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線FE交該雙曲線右支于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EF}$=0，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 判斷出E為PF的中點(diǎn)，據(jù)雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)；利用中位線的性質(zhì)，運(yùn)用雙曲線的定義，求出PF′的長度及判斷出PF′垂直于PF；通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)為F'，
若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EF}$=0，
可得E為FP的中點(diǎn)，且OE⊥PF，
作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線FE交該雙曲線右支于點(diǎn)P，
可得OE=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$c，
由中位線定理可得Rt△PFF′中，
則PF′=2OE=c，
且PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=2a+c，
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即（2a+c）²+c²=4c²，
化為2a=（$\sqrt{3}$-1）c，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的定義和簡單性質(zhì)：離心率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于中檔題．