Question

3．設函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+1|
（Ⅰ）解不等式f（x）＞2x-1；
（Ⅱ）若存在實數(shù)x，使得不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{2}$-t-3成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＜-1}\\{-3x，-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-2，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以f（x）＞2x-1?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x+2＞2x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-3x＞2x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{x-2＞2x-1}\end{array}\right.$，
解得x＜-1或-1≤x＜$\frac{1}{5}$，
所以原不等式解解為{x|x＜$\frac{1}{5}$}；
（Ⅱ）依題意可知，f（x）_min≤$\frac{{t}^{2}}{2}$-t-3，
由（Ⅰ）可知連續(xù)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和[-1，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$，
所以$\frac{{t}^{2}}{2}$-t-3≥-$\frac{3}{2}$及t²-2t-3≥0，
解得t的取值范圍為{t|t≤-3或t≥1}．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．