Question

13．如圖所示，四棱錐P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PB⊥CB．
（2）記平面ADM與平面PBC的交線是l，試判斷直線l與BC的位置關(guān)系，并加以證明．
（3）若CD的中點(diǎn)是E，平面PAB上的動(dòng)點(diǎn)F滿足EF∥平面ADM，求在△PAB內(nèi)滿足條件的所有的點(diǎn)F構(gòu)成的圖形．

Answer 1

分析 （1）由平面PAB⊥平面ABCD，CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，即PB⊥CB；
（2）直線l∥BC．根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)可以證明；
（3）取AB中點(diǎn)H，NB中點(diǎn)G，易得EH∥AD，HG∥AN，即可得平面ADM∥平面EHG，可得在△PAB內(nèi)滿足條件的所有的點(diǎn)F構(gòu)成的圖形時(shí)線段．

解答 解：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
CB?平面ABCD，CB⊥AB，∴CB⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴PB⊥CB，
（2）直線l∥BC．
證明：∵AD∥BC，AD?平面PBC，CB?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
又因?yàn)槠矫鍭DM∩平面PBC=l，AD?平面ADM，
∴AD∥l∥BC，（如圖，∵點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，取PB中點(diǎn)N，則MN就是交線l），
（3）取AB中點(diǎn)H，NB中點(diǎn)G，易得EH∥AD，HG∥AN，
即可得平面ADM∥平面EHG，
則點(diǎn)F在線段HG上，∴在△PAB內(nèi)滿足條件的所有的點(diǎn)F構(gòu)成的圖形時(shí)線段．
，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線線平行的判定、線面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．