12．若關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{x}$-a=0（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$]．

分析 由方程可得lnx=ax，令y=lnx與y=ax的函數(shù)圖象有交點(diǎn)即可得出a的范圍．

解答 解：由$\frac{lnx}{x}$-a=0得lnx=ax，
∴y=lnx與y=ax的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，
作出y=lnx與y=ax的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然當(dāng)a≤0時(shí)，y=ax與y=lnx的圖象總有交點(diǎn)，符合題意；
設(shè)直線y=kx與y=lnx相切，切點(diǎn)為（x0，y0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{e}$．
∴當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，y=ax與y=lnx的圖象有交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)a$＞\frac{1}{e}$時(shí)，y=ax與y=lnx的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$]，
故答案為（-∞，$\frac{1}{e}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

2．如圖是一個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的體積為（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{6}$D．$\frac{3}{8}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

3．函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�
A．[-kπ-$\frac{π}{12}$，-kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈ZB．[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z
C．[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈ZD．[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）A=45°，B=60°，a=$\sqrt{2}$，求b的值
（2）若△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$c=2，A=\frac{π}{3}$，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）若x∈（$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{6}$）時(shí)，f（x）=-$\frac{6}{5}$，求cos2x的值
（3）若cosx$≥\frac{1}{2}$，x∈（0，π），且f（2x）=m有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．設(shè)向量$\overrightarrow m=（4cosx，1）$$\overrightarrow n=（sin（x+\frac{π}{6}），-1）$，函數(shù)$g（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）若ω是函數(shù)y=g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的零點(diǎn)，求sinω的值；
（Ⅱ）設(shè)$α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（\frac{π}{2}，π）$，$g（\frac{α}{2}-\frac{π}{6}）=\frac{6}{5}，g（\frac{β}{2}）=-\frac{24}{13}$，求sin（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．已知函數(shù)f（x）=$（\frac{1}{2}）^{|x+m-1|}$是偶函數(shù)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x≥0}\\{{x}^{2}+2x+m}&{x＜0}\end{array}\right.$，則方程g（x）=|x+$\frac{3}{4}$|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（　　）
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

1．如果對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），對(duì)區(qū)間D內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x${\;}_{{\;}_{1}}$f（x2）+x2f（x1），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“H函數(shù)”，給出下列函數(shù)及函數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間
①y=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x，（x∈R）
②y=3x+cosx-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
③f（x）=（x+1）e-x，x∈（-∞，1）
④f（x）=xlnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$）
以上函數(shù)為區(qū)間D上的“H函數(shù)”的序號(hào)是①②（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

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