Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）內(nèi)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{e}{3}}$）
• B． （${\frac{e}{3}$，e²）
• C． （${\frac{e}{3}$，$\frac{e^2}{6}}$）
• D． （${\frac{e}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求出f′（x）=（3ax-e^x）（x-2），設(shè)h（x）=3ax-e^x，則h（x）=3ax-e^x在（0，2）內(nèi)有兩個零點，由h′（x）=3a-e^x=0，得x=ln（3a），求出h（x）取極大值h（ln（3a））=3aln（3a）-3a，由h（x）在（0，2）時有兩個零點，列出不等式組，能求出函數(shù)f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）內(nèi)有兩個極值點時實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1，
∴f′（x）=3ax²-6ax+（2-x）e^x=（3ax-e^x）（x-2），
設(shè)h（x）=3ax-e^x，
∵函數(shù)f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）內(nèi)有兩個極值點，
∴由題意得f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個零點，
∵x-2在（0，2）內(nèi)恒小于0，∴h（x）=3ax-e^x在（0，2）內(nèi)有兩個零點，
h′（x）=3a-e^x，
由h′（x）=3a-e^x=0，得x=ln（3a），
當(dāng)x＞ln（3a）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜ln（3a）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴x=ln（3a）時，h（x）取極大值h（ln（3a））=3aln（3a）-3a，
∴要使h（x）在（0，2）時有兩個零點，需滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=3a×0-1=-1＜0}\\{h（2）=6a-{e}^{2}＜0}\\{h（ln（3a））=3aln（3a）-3a＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{e}{3}＜a＜\frac{{e}^{2}}{6}$．
∴函數(shù)f（x）=ax³-3ax²-（x-3）e^x+1在（0，2）內(nèi)有兩個極值點，
則實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{e}{3}$，$\frac{{e}^{2}}{6}$）．
故選：C．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的最值、零點、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．