【題目】如圖，三棱柱中，側面，，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：作的中點，因為，且為的中點可得，又側面底面，由此可證底面,以為坐標原點，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.（Ⅰ）寫出相應點的坐標，求出與，由可證；（Ⅱ）求出平面的法向量與平面的法向量，由向量知識求即可.

試題解析：（Ⅰ）作的中點，因為，且為的中點，

∴，

又側面，其交線為，且，

∴ （2分）

以為坐標原點，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系：

由已知得：，，，，，

，則有：，，，

∴ （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得可設平面的法向量為，同理平面的法向量為，

則滿足： ，

解得：，，

則.

∴二面角的余弦值為. （12分）

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下面給出了四個類比推理：

（1）由“若則”類比推出“若為三個向量則”；

（2）“a,b為實數(shù)，則a=b=0”類比推出“為復數(shù)，若”

（3）“在平面內，三角形的兩邊之和大于第三邊”類比推出“在空間中，四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”

（4）“在平面內，過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓”類比推出“在空間中，過不在同一個平面上的四個點有且只有一個球”．

上述四個推理中，結論正確的個數(shù)有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)從某學校高一年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）求這50名男生身高的中位數(shù)，并估計該校高一全體男生的平均身高；

（2）求這50名男生當中身高不低于176的人數(shù)，并且在這50名身高不低于176的男生中任意抽取2人，求這2人身高都低于180的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某旅游區(qū)擬建一主題游樂園，該游樂區(qū)為五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為主題游樂區(qū)，四邊形區(qū)域為BCDE為休閑游樂區(qū)，AB、BC，CD，DE，EA，BE為游樂園的主要道路（不考慮寬度）．.

（I）求道路BE的長度；

（Ⅱ）求道路AB，AE長度之和的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我們用圓的性質類比球的性質如下:

①p:圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦; q:球心與小圓截面圓心的連線垂直于截面.

②p:與圓心距離相等的兩條弦長相等; q:與球心距離相等的兩個截面圓的面積相等.

③p:圓的周長為C=πd(d是圓的直徑); q:球的表面積為S=πd2(d是球的直徑).

④p:圓的面積為S=R·πd(R,d是圓的半徑與直徑); q:球的體積為V=R·πd2(R,d是球的半徑與直徑).

則上面的四組命題中,其中類比得到的q是真命題的有( )個

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，,,,平面.

（Ⅰ）點在棱上，試確定點的位置，使得平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災， 5.6萬人緊急轉移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災，直接經(jīng)濟損失12.99億元，距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成， ， ， ， 五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）：

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失；

（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）小明向班級同學發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款，現(xiàn)從損失超過6000元的居民中隨機

抽出2戶進行捐款援助，求抽出的2戶居民損失均超過8000元的概率；

（3）臺風后區(qū)委會號召該小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款，小明調查的50戶居民捐款情況如下表，

在圖2表格空白外填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額超過或

不超過500元和自身經(jīng)濟損失是否超過4000元有關？

經(jīng)濟損失不超過4000元

經(jīng)濟損失超過4000元

合計

捐款超過500元

30

捐款不超過500元

6

合計

附：臨界值參考公式： ， .

0.15

0.10

0.05

/td>

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】十八屆五種全會公報指出：努力促進人口均衡發(fā)展，堅持計劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實施一對夫婦可生育兩個孩子的政策，提高生殖保健、婦幼保健、托兒等公共服務水平.為了解適齡公務員對放開生育二胎政策的態(tài)度，某部門隨機調查了100位30到40歲的公務員，得到情況如下表：

男公務員

女公務員

生二胎

40

20

不生二胎

20

20

（1）是否有95%以上的把握認為“生二胎與性別有關”，并說明理由；

（2）把以上頻率當概率，若從社會上隨機抽取3位30到40歲的男公務員，記其中生二胎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列，數(shù)學期望.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線，曲線為參數(shù)）， 以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若射線分別交于兩點， 求的最大值．

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