Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三角形的面積為

3

，又

cosC

cosB

=

c

2a-b

，則

1

b+1

+

9

a+9

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,正弦定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,解三角形

分析：由

cosC

cosB

=

c

2a-b

，由正弦定理可得

cosC

cosB

=

sinC

2sinA-sinB

，可得cosC=

1

2

，C．利用

1

2

absin

π

3

=

3

，可得ab=4．可得

1

b+1

+

9

a+9

=

a

4+a

+

9

a+9

=f（a），（a＞0）．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：由

cosC

cosB

=

c

2a-b

，利用正弦定理可得

cosC

cosB

=

sinC

2sinA-sinB

，
化為2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

．
∵三角形的面積為

3

，
∴

1

2

absinC=

1

2

absin

π

3

=

3

，∴ab=4．
∴b=

4

a

．
∴

1

b+1

+

9

a+9

=

a

4+a

+

9

a+9

=f（a），（a＞0）．
∴f′（a）=

4

(4+a)2

-

9

(a+9)2

=

-5(a+6)(a-6)

(a2+13a+36)2

，
當(dāng)a＞6時，f′（a）＜0，函數(shù)f（a）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜a＜6時，f′（a）＞0，函數(shù)f（a）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)a=6時，f（a）取得最大值，f（6）=

6

5

．
∴

1

b+1

+

9

a+9

的最大值為

6

5

．
故答案為：

6

5

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、正弦定理、三角形的面積計算公式、兩角和差的正弦公式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．