Question

12．已知M為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$右支上一點(diǎn)，A，F(xiàn)分別為雙曲線C左頂點(diǎn)和的右焦點(diǎn)，MF=AF，若∠MFA=60°，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為F′，根據(jù)雙曲線的定義得MF′=3a+c，在△MFF′中，由余弦定理得MF′²=MF²+FF′²-2MF•FF′cos60°，即4a²+3ac-c²=0，解得4a=c，即$\frac{c}{a}=4$即可

解答 解：如圖所示，∵M(jìn)F=FA，∠MFA=60°，
∴△MFA是等邊三角形．
則有AF=a+c，MF=a+c，
設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為F′，根據(jù)雙曲線的定義得MF′=3a+c，
在△MFF′中，由余弦定理得MF′²=MF²+FF′²-2MF•FF′cos60°，
即4a²+3ac-c²=0，解得4a=c，即$\frac{c}{a}=4$，
∴雙曲線C的離心率為4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的方程、定義、離心率，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．