12.已知M為雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$右支上一點(diǎn),A,F(xiàn)分別為雙曲線C左頂點(diǎn)和的右焦點(diǎn),MF=AF,若∠MFA=60°,則雙曲線C的離心率為( 。
A.2B.3C.4D.6

分析 設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為F′,根據(jù)雙曲線的定義得MF′=3a+c,在△MFF′中,由余弦定理得MF′2=MF2+FF′2-2MF•FF′cos60°,即4a2+3ac-c2=0,解得4a=c,即$\frac{c}{a}=4$即可

解答 解:如圖所示,∵M(jìn)F=FA,∠MFA=60°,
∴△MFA是等邊三角形.
則有AF=a+c,MF=a+c,
設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為F′,根據(jù)雙曲線的定義得MF′=3a+c,
在△MFF′中,由余弦定理得MF′2=MF2+FF′2-2MF•FF′cos60°,
即4a2+3ac-c2=0,解得4a=c,即$\frac{c}{a}=4$,
∴雙曲線C的離心率為4.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的方程、定義、離心率,考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為平行四邊形,∠BAD=120°,M為CD上的點(diǎn).且∠A1AB=∠A1AD=90°,AD=A1A=2,A1B1=DM=1.
(1)求證:AM⊥A1B;
(2)若M為CD的中點(diǎn),N為棱DD1上的點(diǎn),且MN與平面A1BD所成角的正弦值為$\frac{1}{{\sqrt{35}}}$,試求DN的長(zhǎng).

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4.已知函數(shù)f(x)滿足$f(x)+1=\frac{1}{{f({x+1})}}$,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,若方程f(x)-mx-m=0(x∈(-1,1])有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的最大值是( 。
A.$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$

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1.已知函數(shù)f(x)=-x|x|+2x+1,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.f(x)是偶函數(shù)
B.f(x)的遞減區(qū)間是(-1,1)
C.若方程f(x)+k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則-2≤k≤0
D.任意的a>0,$f(lga)+f(lg\frac{1}{a})=0$

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