Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N_+}）$，則使不等式a₂₀₁₆＞2017成立的所有正整數(shù)a₁的集合為（　　）

• A． {a₁|a₁≥2017，a₁∈N₊}
• B． {a₁|a₁≥2016，a₁∈N₊}
• C． {a₁|a₁≥2015，a₁∈N₊}
• D． {a₁|a₁≥2014，a₁∈N₊}

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N_+}）$，可得$（{a}_{n+1}-1）^{2}$-$（{a}_{n}-1）^{2}$=1，a_n+1≥2．不等式a₂₀₁₆＞2017化為：$\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2015}$+1≥2017，進(jìn)而得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N_+}）$，
∴$（{a}_{n+1}-1）^{2}$-$（{a}_{n}-1）^{2}$=1，a_n+1≥2．
∴$（{a}_{n}-1）^{2}$=$（{a}_{1}-1）^{2}$+（n-1）．
則不等式a₂₀₁₆＞2017化為：$\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2015}$+1≥2017，
∴$（{a}_{1}-1）^{2}$≥2016²-2015，解得a₁≥2017．
∴則使不等式a₂₀₁₆＞2017成立的所有正整數(shù)a₁的集合為{a₁|a₁≥2017，a₁∈N₊}．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．