Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求出，分析的符號，的根的個數(shù)滿足的條件.

（Ⅱ）不妨設(shè)，令，，將目標(biāo)不等式的參數(shù)減少，用分析的方法最后證明：，構(gòu)造函數(shù)證明即可.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

因為，

令

所以.

當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

即在上單調(diào)遞增，

在上至多一個零點(diǎn)，

所以在上至多一個極值點(diǎn)，不滿足條件.

當(dāng)時，由，得（負(fù)根舍去），

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以函數(shù)在）上單調(diào)遞減；

在上單調(diào)遞增.

所以，

要使函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn)

則函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即有兩個零點(diǎn)

首先，解得.

因為，且，

下面證明：.

設(shè)，

則.

因為，所以.

所以在上單調(diào)遞減，

所以.

所以實數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）因為，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，

所以，是函數(shù)的兩個零點(diǎn)

即，是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，

不妨設(shè)，令，則.

所以即.

所以，即，，.

要證，需證.

即證，即證.

因為，所以即證．

設(shè)，

則.

所以在上單調(diào)遞減，

所以.

所以.