18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線l:$\sqrt{3}x+y-4=0$相切,且圓O與坐標(biāo)軸x正半軸交于A,y正半軸交于B,點P為圓O上異于A,B的任意一點.
(Ⅰ)求圓O的方程;
(Ⅱ)求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值及點P的坐標(biāo).

分析 (Ⅰ)由點到直線的距離公式求出O到直線$\sqrt{3}x+y-4=0$的距離,即圓的半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案;
(Ⅱ)由圓的方程求出A,B的坐標(biāo),設(shè)出P的坐標(biāo),把$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.

解答 解:(Ⅰ)由點到直線的距離公式可得,圓心O到直線$\sqrt{3}x+y-4=0$的距離r=$\frac{|-4|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}}=2$.
∴圓O的方程:x2+y2=4;
(Ⅱ)由圓的方程可得A(2,0),B(0,2),
設(shè)P(x,y)=(2cosθ,2sinθ)(θ≠0,$\frac{π}{2}$),則
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=(2-x,-y)•(-x,2-y)={x^2}-2x+{y^2}-2y$
=4cos2θ-4cosθ+4sin2θ-4sinθ
=$4-4\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})$.
∴當(dāng)θ$+\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$,即θ=$-\frac{3}{4}π+2kπ$,k∈Z時,
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最大值$4+4\sqrt{2}$.

點評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,訓(xùn)練了點到直線距離公式的應(yīng)用,考查利用圓的參數(shù)方程求最值,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知一個數(shù)列的前n項和為Sn=3n2+2n+5,則它的第n(n≥2)項為( 。
A.3n2B.3n2+3nC.6n+1D.6n-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.若關(guān)于x的不等式x2-2kx+k>0的解集為R,則實數(shù)k的取值范圍是(0,1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

6.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{x+2a+3}{{{x^2}+8}}$為奇函數(shù),則實數(shù)a=-$\frac{3}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.若直線mx+2ny-4=0(m、n∈R,m≠n)始終平分圓x2+y2-4x-2y-4=0的周長,則mn的取值范圍是(  )
A.(0,1)B.(-1,0)C.(-∞,1)D.(-∞,-1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.函數(shù)y=3tan(4x-1)的最小正周期為( 。
A.$\frac{π}{2}$B.$\frac{π}{4}$C.πD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.函數(shù)y=-x-cosx在$[{π,\frac{3π}{2}}]$上的最大值是( 。
A.$\frac{3π}{2}$B.-π-1C.-π+1D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.設(shè)復(fù)數(shù)z=3-4i(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)$\overline z$的虛部是( 。
A.-4B.3C.4D.-4i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)經(jīng)過兩點$P({-3,2\sqrt{7}})$和$Q({-6\sqrt{2},-7})$;
(2)與雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$有共同的漸近線,且過點$({2,2\sqrt{3}})$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案