Question

20．已知圓C的方程（x-1）²+y²=1，P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]．

Answer 1

分析 由圓切線的性質(zhì)，即與圓心切點(diǎn)連線垂直設(shè)出一個角，通過解直角三角形求出PA，PB的長；利用向量的數(shù)量積公式表示出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，通過換元，再利用基本不等式求出最小值，由P為左頂點(diǎn)，可得最大值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：設(shè)PA與PB的夾角為2α，
則|PA|=PB|=$\frac{1}{tanα}$，
∴y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|PA||PB|cos2α=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$•cos2α=$\frac{1+cos2α}{1-si{n}^{2}α}$•cos2α．
記cos2α=u，則y=$\frac{u（u+1）}{1-u}$=-3+（1-u）+$\frac{2}{1-u}$≥2$\sqrt{（1-u）•\frac{2}{1-u}}$-3=2$\sqrt{2}$-3，
∵P在橢圓的左頂點(diǎn)時，sinα=$\frac{1}{3}$，∴cos2α=1-2sin²α=1-$\frac{2}{9}$=$\frac{7}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為$\frac{1+\frac{7}{9}}{1-\frac{7}{9}}$•$\frac{7}{9}$=$\frac{56}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的范圍為[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]．
故答案為：[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]．

點(diǎn)評 本題考查圓切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．