Question

10．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，滿足${a_{n+1}}-2{a_n}={2^n}$．
（1）求證：數(shù)列$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+…+nb_n=a_n，對一切n∈N^*都成立，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊同除以2ⁿ⁺¹，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）運用數(shù)列的遞推式，n=1時，求得b₁，n≥2時，n換為n-1，相減可得所求，注意檢驗n=1的情況．

解答 （1）證明：∵${a_{n+1}}-2{a_n}={2^n}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$構(gòu)成以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
即$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{2}⇒{a_n}=n\;•\;{2^{n-1}}$．
（2）解：b₁+2b₂+…+nb_n=a_n，即${b_1}+2{b_2}+…+n{b_n}=n\;•\;{2^{n-1}}$，
n=1時，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，得b₁=a₁=1．
n≥2時，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，①b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1，②
①-②得：$n{b_n}={a_n}-{a_{n-1}}=n{2^{n-1}}-（n-1）{2^{n-2}}=（n+1）{2^{n-2}}$，
${b_n}=\frac{{（n+1）{2^{n-2}}}}{n}，\;\;n≥2$，
檢驗n=1時滿足上式．
∴${b_n}=\frac{{（n+1）{2^{n-2}}}}{n}（n∈{N^*}）$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列遞推式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．