Question

11．已知函數f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時f（x）取得極值-2
（I）求函數f（x）的解析式并討論單調性
（II）證明對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

分析 （I）由奇函數的定義利用待定系數法求得d，再由x=1時f（x）取得極值-2．解得a，c從而確定函數，再利用導數求單調區(qū)間和極大值．
（II）由（I）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，證明即可．

解答 解：（I）∵f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx…（2分）
f'（x）=3ax²+c，
當x=1時f（x）取得極值-2，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+c=0}\\{f（1）=a+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故所求解析式為f（x）=x³-3x．
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區(qū)間（-∞，-1）上是增函數，
當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在單調區(qū)間（-1，1）上是減函數，
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區(qū)間（1，+∞）上是增函數，
∴f（x）單調遞增區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）單調遞減區(qū)間（-1，1）；
（II）證明：由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，對任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4，
∴不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

點評 本小題主要考查函數的單調性及奇偶性，考查運用導數研究函數單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，屬于中檔題．