Question

3．某理財(cái)公司有兩種理財(cái)產(chǎn)品A和B．這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立）：
產(chǎn)品A產(chǎn)品B（其中p、q＞0）

投資結(jié)果	獲利40%	不賠不賺	虧損20%
概  率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

投資結(jié)果	獲利20%	不賠不賺	虧損10%
概  率	p	$\frac{1}{3}$

（Ⅰ）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于$\frac{3}{5}$，求p的取值范圍；
（Ⅱ）丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互獨(dú)立事件和對立事件的概率計(jì)算公式，求出“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”、
“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”和“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”的概率值，
列出不等式求出p的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進(jìn)行投資，記X為獲利金額，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進(jìn)行投資，記Y為獲利金額，寫出Y的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
討論p的取值，得出E（X）與E（Y）的大小關(guān)系即可．

解答 解：（Ⅰ）記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，
事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，
事件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”，
則$P（\overline A）=\frac{2}{3}，P（\overline B）=1-p$，
所以$P（C）=1-P（\overline A\overline B）=1-\frac{2}{3}（1-p）=\frac{1}{3}+\frac{2p}{3}＞\frac{3}{5}$，所以$p＞\frac{2}{5}$；…4分
又因?yàn)?p+\frac{1}{3}+q=1，q＞0$，
所以$0＜p＜\frac{2}{3}$；
所以$\frac{2}{5}＜p＜\frac{2}{3}$；…6分
（Ⅱ）假設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進(jìn)行投資，且記X為獲利金額（單位：萬元），所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	4	0	-2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

則$E（X）=4×\frac{1}{3}+0×\frac{1}{2}+（-2）×\frac{1}{6}=1$．…8分
假設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進(jìn)行投資，且記Y為獲利金額（單位：萬元），所以隨機(jī)變量Y的分布列為：

Y	2	0	-1
P	p	$\frac{1}{3}$	q

則$E（Y）=2×p+0×\frac{1}{3}+（-1）×q=2p-q=2p-（\frac{2}{3}-p）=3p-\frac{2}{3}（0＜p＜\frac{2}{3}）$；…10分
當(dāng)$p=\frac{5}{9}$時(shí)，E（X）=E（Y），選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個(gè)；
當(dāng)$0＜p＜\frac{5}{9}$時(shí)，E（X）＞E（Y），選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望大，應(yīng)選產(chǎn)品A；
當(dāng)$\frac{5}{9}＜p＜\frac{2}{3}$時(shí)，E（X）＜E（Y），選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望大，應(yīng)選產(chǎn)品B．…12分．

點(diǎn)評 本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，是中等題．