Question

12．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$AB=\sqrt{3}AD=\sqrt{3}A{A_1}=\sqrt{3}$，點P為線段A₁C上的動點（包含線段端點），則下列結(jié)論正確的①②．
①當(dāng)$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$時，D₁P∥平面BDC₁；
②當(dāng)$\overrightarrow{{A_1}C}=5\overrightarrow{{A_1}P}$時，A₁C⊥平面D₁AP；
③當(dāng)∠APD₁的最大值為90°；
④AP+PD₁的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=1，則AD=1，AB=$\sqrt{3}$，設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}C}=λ\overrightarrow{{A}_{1}P}$；（λ≥1）
則A（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C₁（0，$\sqrt{3}$，1），B（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-1，\sqrt{3}，-1）$，$\overrightarrow{{A}_{1}P}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-\frac{1}{λ}，\frac{\sqrt{3}}{λ}，-\frac{1}{λ}）$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}=（1，0，-1）$
利用向量與位置關(guān)系的等價性逐一判定即可，

解答 解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=1，則AD=1，AB=$\sqrt{3}$，設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}C}=λ\overrightarrow{{A}_{1}P}$；（λ≥1）
則A（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C₁（0，$\sqrt{3}$，1），B（1，$\sqrt{3}$，0）
$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-1，\sqrt{3}，-1）$，$\overrightarrow{{A}_{1}P}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-\frac{1}{λ}，\frac{\sqrt{3}}{λ}，-\frac{1}{λ}）$，$\overrightarrow{{D}_{1}A}=（1，0，-1）$
對于①，設(shè)平面DBC1的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=\sqrt{3}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$可得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}）$
$\overrightarrow{{D}_{1}P}=（1-\frac{1}{λ}，\frac{\sqrt{3}}{λ}，-\frac{1}{λ}）$
若D₁P∥平面BDC₁，則$\overrightarrow{{D}_{1}P}•\overrightarrow{n}=0$，解得λ=3，故①正確．
對于②，若A₁C⊥平面D₁AP，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}P}=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}A}=0}\end{array}\right.$，解得λ=5，故②正確；
對于③，$\overrightarrow{P{D}_{1}}•\overrightarrow{PA}=\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{2}{λ}$＜0 （λ≥1）有解，故∠APD₁可以大于90⁰．所以③錯；
對于④，∵$\overrightarrow{P{D}_{1}}•\overrightarrow{PA}=\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{2}{λ}$=0時，λ=2，此時AP+PD₁=$\sqrt{5}$，
當(dāng)λ＞2時，∠APD₁為鈍角此時AP+PD₁小于$\sqrt{5}$，故④錯
綜上，故答案為：①②．

點評 本題考查了空間線面、線線的位置關(guān)系，及動點問題的處理，借助向量進(jìn)行運算處理動點問題是常見的技巧，屬于中檔題．