Question

9．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$．則使得sin²B+sin²C=msinBsinC成立的實數(shù)m的最大值是4．

Answer 1

分析 利用正弦定理將角化邊得出m=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{bc}$，根據(jù)面積公式得出a²=$\frac{6bcsinA}{\sqrt{3}}$，代入余弦定理即可得出m關(guān)于A的式子，利用三角恒等變換求出m的最值．

解答 解：∵sin²B+sin²C=msinBsinC，
∴b²+c²=bcm，
∴m=$\frac{^{2}+{c}^{2}}{bc}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴a²=$\frac{6bcsinA}{\sqrt{3}}$，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$-$\sqrt{3}$sinA，
∴m=2cosA+2$\sqrt{3}$sinA=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∴當sin（A+$\frac{π}{6}$）=1即A=$\frac{π}{3}$時，m取得最大值4．
故答案為4．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的應(yīng)用，三角恒等變換，屬于中檔題．