Question

6．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中 $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)
• B． 滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
• C． 滿足λ+μ=a（a＞0）的點(diǎn)P最多有3個(gè)
• D． λ+μ的最大值為3

Answer 1

分析 可分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，P（x，y），x，y∈[0，1]，可求A，B，E三點(diǎn)坐標(biāo)，從而可寫(xiě)出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)，帶入$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$便可得到（x，y）=（λ-μ，μ），從而得到$λ+μ=\left\{\begin{array}{l}{x}&{y=0}\\{1+2y}&{x=1}\\{x+2}&{y=1}\\{2y}&{x=0}\end{array}\right.$，這樣便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而得出正確選項(xiàng)．

解答 解：以AB，AD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，P（x，y），則：
A（0，0），B（1，0），E（-1，1）；
∴$\overrightarrow{AP}=（x，y），\overrightarrow{AB}=（1，0），\overrightarrow{AE}（-1，1）$；
∴由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$得，（x，y）=（λ-μ，μ）；
∴$λ+μ=x+2y=\left\{\begin{array}{l}{x}&{y=0}\\{1+2y}&{x=1}\\{x+2}&{y=1}\\{2y}&{x=0}\end{array}\right.$；
∴滿足λ+μ=2的點(diǎn)P有線段BC的中點(diǎn)和D點(diǎn)；
滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有B點(diǎn)和線段AD的中點(diǎn)；
滿足λ+μ=a（a＞0）的點(diǎn)最多有2個(gè)；
x=1，y=1時(shí)，λ+μ取最大值3．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算．