Question

1．由正實數組成的數列{a_n}滿足：a_n²≤a_n-a_n+1，n=1，2…證明：對任意n∈N^*，都有a_n＜$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 根據正項數列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可得到0＜a_n＜1，不難得出a₁＜1，a₂＜1，利用數學歸納法證明即可利用數學歸納法證明即可．

解答 解：a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在數列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1，
∴a₂≤a₁-a₁²=a₁（1-a₁）≤（$\frac{{a}_{1}+1-{a}_{1}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$
由此猜想：a_n＜$\frac{1}{n}$（n≥2）．下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，顯然成立；
②當n=k時（k≥2，k∈N）時，假設猜想正確，即a_k＜$\frac{1}{k}$
那么a_k+1≤a_k-a_k²=-（a_k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{k-1}{{k}^{2}}$＜$\frac{k-1}{{k}^{2}-1}$＜$\frac{1}{k+1}$
∴當n=k+1時，猜想也正確
綜上所述，對于一切n∈N^*，a_n＜$\frac{1}{n}$．

點評 本題主要考查數列與不等式問題和數學歸納法，對探究性問題先歸納，再猜想，最后利用數學歸納法證明，數學歸納法的關鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設的模型才能成立，屬中檔題．