Question

16．已知sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，α為第二象限角．
（1）求sinα-cosα的值；
（2）求$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（π-α）}{cos2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）所求式子平方，利用完全平方公式展開(kāi)，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，將各自的值代入，結(jié)合已知條件，開(kāi)方即可求出值；
（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后結(jié)合（1）即可求出答案．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=sin²α+2sinαcosα+cos²α=1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴$sinαcosα=-\frac{12}{25}$
又（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=$\frac{1}{25}-4×（-\frac{12}{25}）=\frac{49}{25}$．
∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα-cosα＞0．
∴sinα-cosα=$\frac{7}{5}$；
（2）$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（π-α）}{cos2α}$=$\frac{cosα+sinα}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}=\frac{cosα+sinα}{（cosα-sinα）（cosα+sinα）}$
=$\frac{1}{cosα-sinα}$=$-\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．