Question

10．如圖，在△ABC中，∠C為直角，AC=BC=4，沿△ABC的中位線(xiàn)DE，將平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱錐A-BCDE．
（1）求證；BC⊥平面ACD；
（2）求E到面ABC的距離；
（3）M是棱CD的中點(diǎn)，過(guò)M作平行于平面ABC的截面，畫(huà)出該截面，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同時(shí)DE⊥DC，證明DE⊥平面ACD，即可證得BC⊥平面ACD；
（2）由BC⊥平面ACD得AD⊥BC，又AD⊥DC，可證得AD⊥平面BCDE，利用等積法即可求出E到平面ABC的距離；
（3）分別取AD，EA，AB的中點(diǎn)N，P，Q，并連接MN，NP，PQ，QM，得平面MNPQ為所作，
證明平面MNPQ∥平面ABC即可．

解答 解：（1）證明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同時(shí)DE⊥DC，
又AD∩DC=D，
∴DE⊥平面ACD．
又∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ACD；
（2）由（1）知，BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，
∴AD⊥BC．
又∵∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
又∵BC∩DC=C，
∴AD⊥平面BCDE；
∴三棱錐E-ABC的體積為
V_{三棱錐E-ABC}=V_{三棱錐A-BCD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$BC•CD•AD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×2×2=$\frac{8}{3}$；
設(shè)點(diǎn)E到面ABC的距離為h，
且△ABC的面積為$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{3}$h•4$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$，
解得h=$\sqrt{2}$，即點(diǎn)E到平面ABC的距離為$\sqrt{2}$；
（3）分別取AD，EA，AB的中點(diǎn)N，P，Q，連接MN，NP，PQ，QM，
則平面MNPQ即為所作的平面；
證明如下；
∵QM∥AC，QM?平面ABC，AC?平面ABC，
∴QM∥平面ACD；
同理，MN∥平面ABC，且QM∩MN=M，QM?平面MNPQ，MN?平面MNPQ，
∴平面MNPQ∥平面ABC，
即四邊形MNPQ是過(guò)點(diǎn)M且平行于平面ABC的截面．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與平面垂直的證明，以及利用等積法求體積和面面平行的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．