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14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中點(diǎn),∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.
(Ⅰ)求證:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)若PA=2,求點(diǎn)C到平面BDE的距離.

分析 (Ⅰ) 令PD中點(diǎn)為F,連接EF,由已知條件推導(dǎo)出四邊形FABE為平行四邊形,由此能證明BE∥面PAD.
(Ⅱ)利用等體積方法,即可求點(diǎn)C到平面BDE的距離.

解答 (Ⅰ) 證明:令PD中點(diǎn)為F,連接EF,…(1分)
∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別是△PCD的中點(diǎn),
∴EF平行且等于12CD,∴EF平行且等于AB.
∴四邊形FABE為平行四邊形.…(2分)
∴BE∥AF,AF?平面PAD,EF?平面PAD…(4分)
∴BE∥面PAD…(5分)
(Ⅱ)解:由題意,平面PAD⊥平面ABCD,∠DAB=90°,∴AB⊥平面PAD,
∴AB⊥PA,
∵PA⊥BC,AB∩BC=B,
∴PA⊥平面ABCD,∴PD=22,BE=AF=2,DB=5
△PCD中,PD=22,CD=2,PC=252=23,
∴4DE2+12=2(8+4),∴DE=3,∴DE⊥BE,∴S△BDE=12×3×2=62
設(shè)點(diǎn)C到平面BDE的距離為h,則13×62h=13×12×2×2×1,∴h=263.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的證明,考查點(diǎn)C到平面BDE的距離的求法,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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