Question

7．就實數(shù)a的取值范圍，討論關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析 利用倍角公式化余弦為正弦，令t=sinx換元后化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，結(jié)合一元二次方程根的分別分類討論得答案．

解答 解：y=cos2x+2sinx+2a-3=-2sin²x+2sinx+2a-2，
令t=sinx（-1≤t≤1），
則函數(shù)化為f（t）=-2t²+2t+2a-2．
對稱軸方程為t=$\frac{1}{2}$．
若△=4+8（2a-2）＜0，即a$＜\frac{3}{4}$，
函數(shù)f（t）無零點(diǎn)，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸無交點(diǎn)；
若△=4+8（2a-2）=0，即a=$\frac{3}{4}$，
函數(shù)f（t）=$-2{t}^{2}+2t-\frac{1}{2}$，零點(diǎn)為$\frac{1}{2}$．
由sinx=$\frac{1}{2}$，可得x=$\frac{π}{6}$，或x=$\frac{5π}{6}$，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有兩個交點(diǎn)；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2＜0，即$\frac{3}{4}$＜a＜1，
函數(shù)f（t）有兩個大于0小于1的零點(diǎn)，即sinx有兩個不等正根，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有四個交點(diǎn)；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2=0，即a=1，函數(shù)f（t）的兩個零點(diǎn)為0，1．
由sinx=0，sinx=1，可得關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有三個交點(diǎn)；
若f（0）=2a-2＞0，且f（-1）=2a-6＜0，即1＜a＜3，f（t）有一零點(diǎn)為負(fù)數(shù)，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有兩個交點(diǎn)；
若f（-1）=0，即a=3，f（t）有一零點(diǎn)-1，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有一個交點(diǎn)；
若f（-1）＞0，即a＞3，f（t）在[-1，1]內(nèi)無零點(diǎn)，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸無交點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a＜$\frac{3}{4}$或a＞3時，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸無交點(diǎn)；
當(dāng)a=3時，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有一個交點(diǎn)；
當(dāng)a=$\frac{3}{4}$或1＜a＜3時，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有兩個交點(diǎn)；
當(dāng)a=1時，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有三個交點(diǎn)；
當(dāng)$\frac{3}{4}$＜a＜1時，關(guān)于x的函數(shù)y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有四個交點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程根的分別及其應(yīng)用，是中檔題．