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16.如圖,在圓內(nèi)接△ABC,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足acosC+ccosA=2bcosB.
(1)求B的大��;
(2)若點D是劣弧^AC上一點,AB=3,BC=2,AD=1,求四邊形ABCD的面積.

分析 (1)根據(jù)正弦定理化簡即可.
(2)在△ABC,利用余弦定理求出AC,已知B,可得∠ADC,再余弦定理求出DC,即可△ABC和△ADC面積,可得四邊形ABCD的面積.

解答 解:(1)∵acosC+ccosA=2bcosB.
由正弦定理,可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB.
得sinB=2sinBcosB.
∵0<B<π,sinB≠0,
∴cosB=12,
即B=\frac{π}{3}
(2)在△ABC中,AB=3,BC=2,B=\frac{π}{3}
由余弦定理,cos\frac{π}{3}=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{9+4-A{C}^{2}}{12},
可得:AC=\sqrt{7}
在△ADC中,AC=\sqrt{7},AD=1,ABCD在圓上,
∵B=\frac{π}{3}
∴∠ADC=\frac{2π}{3}
由余弦定理,cos\frac{2π}{3}=\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•DC}=\frac{1+D{C}^{2}-7}{2DC}
解得:DC=2
四邊形ABCD的面積S=S△ABC+S△ADC=\frac{1}{2}AD•DC•sin\frac{2π}{3}+\frac{1}{2}AB•BC•sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}

點評 本題考查三角形的面積的求法,正弦余弦定理的合理運用.圓內(nèi)角四邊形的角的關(guān)系.屬于中檔題.

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