Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求曲線C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程，并分別指出其曲線類(lèi)型；
（Ⅱ）試判斷：曲線C₁和C₂是否有公共點(diǎn)？如果有，說(shuō)明公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）設(shè)A（a，b）是曲線C₁上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a+2b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，由曲線C₂的極坐標(biāo)方程求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）聯(lián)立曲線C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程，得3y²+2y-4=0，由此利用圖形對(duì)稱(chēng)性知公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
（Ⅲ）利用橢圓參數(shù)方程的性質(zhì)能求出a+2b的取值范圍．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cost\\ y=sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴由題設(shè)知曲線C₁的直角坐標(biāo)方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
∴曲線C₁表示以$（±\sqrt{3}，0）$為焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)的橢圓．…（3分）
∵曲線C₂：ρ=2sinθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程是x²+y²-2y=0．
∴曲線C₂表示以（0，1）為圓心，半徑是1的圓．…（5分）
（Ⅱ）聯(lián)立曲線C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程，得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\{x^2}+{y^2}-2y=0\end{array}\right.$．
消去x，得3y²+2y-4=0，
解得$y=\frac{{\sqrt{13}-1}}{3}$或$y=\frac{{-\sqrt{13}-1}}{3}（舍）$．
由圖形對(duì)稱(chēng)性知公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．…（8分）
（Ⅲ）a+2b的取值范圍是$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$． …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．