19.已知命題p:方程a2x2+ax-2=0在區(qū)間[0,1]上有解,命題q:對于?x∈R,不等式sinx+cosx>a恒成立.若命題p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 分別求出命題p,q為真時,實數(shù)a的取值范圍.結合命題p∨q為真命題,p∧q為假命題,可得答案.

解答 (本題滿分10分)
解:方程a2x2+ax-2=0的兩根為$-\frac{2}{a},\frac{1}{a}$,…(2分)
由題意知$0≤-\frac{2}{a}≤1或0≤\frac{1}{a}≤1$,解得a≤-2或a≥1,
即命題p為真命題時a的取值集合為A=(-∞,-2]∪[1,+∞).…(4分)
∵sinx+cosx>a恒成立,所以$a<{({sinx+cosx})_{min}}=-\sqrt{2}$
即命題q為真命題時a的取值集合為$B=({-∞,-\sqrt{2}})$.…(7分)
又∵命題p∨q為真命題,p∧q為假命題,所以a的取值范圍為
((∁R A)∩B)∪((∁R B)∩A)=(-2,-$\sqrt{2}$)∪[1,+∞).…(10分)

點評 本題考查的知識點是復合命題,方程根的個數(shù)及判斷,函數(shù)恒成立問題,難度中檔.

練習冊系列答案
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