Question

3．已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0相切．
（I）過(guò)點(diǎn)G（1，3）作直線與圓C相交，相交弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，求此直線的方程；
（II）若與直線l₁垂直的直線l不過(guò)點(diǎn)R（1，-1），且與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若∠PRQ為鈍角，求直線l的縱截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距離，可得圓的半徑長(zhǎng)，得到圓的方程，分類討論，利用弦長(zhǎng)，即可得出結(jié)論；
（2）直線l₁的斜率為1，且l⊥l₁，可得直線l的斜率為-1，設(shè)直線l的方程為y=-x+b，聯(lián)立圓的方程與直線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得P，Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合∠POQ為鈍角，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，從而可得直線l的縱截距的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距離為圓的半徑長(zhǎng)r，
即r=$\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=4．
①直線斜率不存在時(shí)，x=1滿足題意；
②斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0
∵相交弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，∴圓心到直線的距離d=$\frac{|3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直線方程為x=1或4x-3y+5=0；
（2）∵直線l₁的斜率為1，且l⊥l₁，∴直線l的斜率為-1，設(shè)直線l的方程為y=-x+b，
則與圓C的方程x²+y²=4 聯(lián)立，化簡(jiǎn)得2x²-2bx+b²-4=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程2x²-2bx+b²-4=0的兩個(gè)不同的根，
故x₁+x₂=b，x₁+x₂=$\frac{^{2}-4}{2}$③，
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$．
∵∠POQ為鈍角，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-b（x₁+x₂）+b²＜＜0  ④，
由③④得b²＜4，即-2＜b＜2，滿足△＞0．
當(dāng)$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$反向共線時(shí)，直線y=-x+b過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)b=0，不符合題意，
故直線l的縱截距的取值范圍是-2＜b＜2，且b≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是中檔題．