15.已知△ABC中,tanA,tanB是方程x2+ax+4=0的兩個實數(shù)根:
(1)若a=-8,求tanC的值;
(2)求tanC的最小值,并指出此時對應的tanA,tanB的值.

分析 (1)由根與系數(shù)的關系寫出tanA+tanB=8,tanAtanB=4;利用三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正切公式計算即可;
(2)由△≥0以及根與系數(shù)的關系,求出a≤-4;再利用三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正切公式,求出tanC的最小值以及此時對應的tanA、tanB的值.

解答 解:(1)a=8時,x2-8x+4=0,
∴tanA+tanB=8,tanAtanB=4;
∴tanC=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)
=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$
=$\frac{8}{3}$:
(2)由題意,△=a2-16≥0,
解得a≥4或a≤-4;
又tanAtanB=4>0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{tanA>0}\\{tanB>0}\end{array}\right.$,
∴tanA+tanB=-a>0,
∴a<0,
即a≤-4;
∴tanC=-tan(A+B)=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=$\frac{-a}{3}$≥$\frac{4}{3}$,
∴tanC的最小值是$\frac{4}{3}$,此時對應的tanA=tanB=2.

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系以及三角形內(nèi)角和定理與兩角和的正切公式應用問題,是基礎題.

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