Question

9．已知x，y均為正數(shù)，θ∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），且滿足$\frac{cosθ}{x}$=$\frac{sinθ}{y}$，$\frac{{{{sin}^2}θ}}{x^2}$+$\frac{{{{cos}^2}θ}}{y^2}$=$\frac{10}{{3（{x^2}+{y^2}）}}$，則$\frac{{（x+y{）^2}}}{{{x^2}+{y^2}}}$的值為$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用條件，求出x=$\sqrt{3}$y代入$\frac{{（x+y{）^2}}}{{{x^2}+{y^2}}}$，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{{{{sin}^2}θ}}{x^2}$+$\frac{{{{cos}^2}θ}}{y^2}$=$\frac{10}{{3（{x^2}+{y^2}）}}$，$\frac{cosθ}{x}$=$\frac{sinθ}{y}$
∴化簡(jiǎn)可得$\frac{co{s}^{6}θ+si{n}^{6}θ}{si{n}^{2}θco{s}^{2θ}}$=$\frac{7}{3}$，
∵cos⁶θ+sin⁶θ=（cos²θ+sin²θ）（cos⁴θ+sin⁴θ-sin²θcos²θ）=1×[（cos²θ+sin²θ）²-3sin²θcos²θ]=1-3sin²θcos²θ，
∴$\frac{1-3si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$=$\frac{7}{3}$
，化為sin²θ+cos²θ=$\frac{3}{16}$，與sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立
解得sin²θ=$\frac{1}{4}$，cos²θ=$\frac{3}{4}$或sin²θ=$\frac{3}{4}$，cos²θ=$\frac{1}{4}$．
由θ∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），得0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinθ＜1
故取sin²θ=$\frac{3}{4}$，cos²θ=$\frac{1}{4}$，解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\sqrt{3}$，即x=$\sqrt{3}$y
代入$\frac{{（x+y{）^2}}}{{{x^2}+{y^2}}}$，可得$\frac{{（x+y{）^2}}}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的求值，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．