Question

3．給出下列四個命題：
①設(shè)x₁，x₂∈R，則x₁＞1且x₂＞1的充要條件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1；
②“α=$\frac{π}{6}$”是“sinα=$\frac{1}{2}$”的充分而不必要條件；
③命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
④已知n個散點A_i（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n）的線性回歸方程為y=bx+a，若a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，（其中$\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$x_i，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$y_i），則此回歸直線必經(jīng)過點（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．
其中正確命題的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 ①根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷，
②根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷，
③根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷，
④根據(jù)線性回歸直線的性質(zhì)進行判斷．

解答 解：①若x₁＞1且x₂＞1，則x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1成立，即充分性成立，
當x₁=8且x₂=$\frac{1}{2}$滿足x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1成立，但x₁＞1且x₂＞1不成立，即必要性不成立，
即x₁，x₂∈R，則x₁＞1且x₂＞1的充要條件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1；錯誤，
②當α=$\frac{π}{6}$時，sinα=$\frac{1}{2}$成立，當α=$\frac{5π}{6}$時，滿足sinα=$\frac{1}{2}$”但α=$\frac{π}{6}$不成立，
即“α=$\frac{π}{6}$”是“sinα=$\frac{1}{2}$”的充分而不必要條件；故②正確，
③命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²＜0”；故③錯誤，
④已知n個散點A_i（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n）的線性回歸方程為y=bx+a，若a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，（其中$\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$x_i，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$y_i），則此回歸直線必經(jīng)過點（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．正確，
故選：C

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件的判斷，含有量詞的命題的否定以及回歸直線的性質(zhì)，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．