Question

4．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，D、E分別為AA₁、BC₁的中點．
（1）求證：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC與平面BC₁D所成角；
（3）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點F，連結(jié)AF，EF，則可證四邊形AFED是平行四邊形，得出DE∥AF，將問題轉(zhuǎn)化為證明AF⊥平面BB₁C₁C；
（2）過C作CM⊥BC₁于M點，則CM⊥平面BC₁D，于是∠CBC₁就是BC與平面BC₁D所成的角，在Rt△BCC₁解出∠CBC₁即可；
（3）V${\;}_{C-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{C}_{1}}•DE$．

解答 證明：（1）取BC中點F，連結(jié)AF，EF，
∵E，F(xiàn)分別是BC₁，BC的中點，
∴$EF∥C{C_1}，EF=\frac{1}{2}C{C_1}$，
∵$AD∥C{C_1}，AD=\frac{1}{2}C{C_1}$，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四邊形AFED為平行四邊形，
∴DE∥AF，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AF⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴CC₁⊥AF，又CC₁?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，BC∩CC₁=C，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，又DE∥AF，
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（2）由（1）可得，平面AFED⊥平面BB₁C₁C，
過C作CM⊥BC₁于M點，則CM⊥平面BC₁D，
∴∠CBC₁就是BC與平面BC₁D所成的角，
∵$tan∠CB{C_1}=\frac{{C{C_1}}}{BC}=\sqrt{3}$，
∴∠CBC₁=60°．即BC與平面BC₁D所成角為60°．
（3）∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴AF=$\sqrt{3}$．∴DE=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{C-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{C}_{1}}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，棱錐的體積，屬于中檔題．