Question

13．在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如表

空氣質(zhì)量指數(shù)t	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200）	（200，300]	（300，+∞）
質(zhì)量等級	優(yōu)	良	輕微污染	輕度污染	中度污染	嚴(yán)重污染
天數(shù)K	5	23	22	25	15	10

（1）若該城市各醫(yī)院每天收治上呼吸道病癥總?cè)藬?shù)y與當(dāng)天的空氣質(zhì)量t（t取整數(shù)）存在如下關(guān)系y=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≤100}\\{2t-100，100＜t≤300}\\{\;}\end{array}\right.$且當(dāng)t＞300時，y＞500，估計在某一醫(yī)院收治此類病癥人數(shù)超過200人的概率；
（2）若在（1）中，當(dāng)t＞300時，y與t的關(guān)系擬合與曲線 $\stackrel{∧}{y}$=a+blnt，現(xiàn)已取出了10對樣本數(shù)據(jù)（t_i，y_i）（i=1，2，3，…，10）且知$\sum_{i=1}^{10}$lnt_i=70，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=6000，$\sum_{i=1}^{10}$y_ilnt_i=42500，$\sum_{i=1}^{10}$（lnt_i）²=500試用可線性化的回歸方法，求擬合曲線的表達(dá)式
（附：線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=a+bx中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）令y＞200解出t的取值范圍，根據(jù)頻數(shù)分布表計算此范圍內(nèi)的頻率，則此頻率近似等于所求的概率；
（2）令x=lnt，利用回歸系數(shù)公式求出y關(guān)于x的回歸方程，再得出y關(guān)于t的擬合曲線．

解答 解：（1）令y＞200得2t-100＞200，解得t＞150，
∴當(dāng)t＞150時，病人數(shù)超過200人．
由頻數(shù)分布表可知100天內(nèi)空氣指數(shù)t＞150的天數(shù)為25+15+10=50．
∴病人數(shù)超過200人的概率P=$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$．
（2）令x=lnt，則y與x線性相關(guān)，$\overline{x}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}ln{t}_{i}}{10}$=7，$\overline{y}=\frac{\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}}{10}$=600，
∴b=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}ln{t}_{i}-10\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{10}ln{{t}_{i}}^{2}-10{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42500-10×7×600}{500-10×49}$=50，a=600-50×7=250．
∴擬合曲線方程為y=50x+250=50lnt+250．

點(diǎn)評 本題考查了用樣本的頻率估計概率，可化為線性相關(guān)的回歸方程的求解，屬于中檔題．