Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)于任意n∈N₊都滿足a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，則數(shù)列{a_n•a_n+1}的前n項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{1}{3n+1}$
• B． $\frac{n}{3n+1}$
• C． $\frac{1}{3n-2}$
• D． $\frac{n}{2（3n+2）}$

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)于任意n∈N₊都滿足a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)于任意n∈N₊都滿足a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+3（n-1）=3n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3n-1}$，
∴a_n•a_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴數(shù)列{a_n•a_n+1}的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{6n+4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．