【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)求證:.
【答案】(Ⅰ)單調遞減區(qū)間為,無單調遞增區(qū)間.(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導函數(shù),利用
,即可分析出
的符號,即可判斷函數(shù)
的單調區(qū)間;
(Ⅱ)方法一:根據(jù)不等式,構造函數(shù),求得導函數(shù)
,再構造函數(shù)
,并求得
,由
的符號可判斷
的單調性、零點與最小值,進而得
的符號,即可判斷
的單調性,從而求得
的最小值,即可證明不等式成立;方法二:構造函數(shù)
,求得導函數(shù)
可得
的單調性與最值,從而可證明
,結合(Ⅰ)可得
,結合兩式即可證明不等式成立.
(Ⅰ)函數(shù),則定義域為
,
,
,
,
,
,
(當且僅當
時取等號),
的單調遞減區(qū)間為
,無單調遞增區(qū)間.
(Ⅱ)證法一:令函數(shù),
則
,
顯然.
令函數(shù),
則,
由(Ⅰ)知,
,
,
所以,
在
上是增函數(shù),
且,
當
時,
即
,所以
單調遞減,
當時,
即
,所以
單調遞增.
的最小值為
,
,
.
證法二:令函數(shù),
定義域為,
,
函數(shù)
在定義域上是增函數(shù),
,
,①
又,②
①+②得,
即當時,
.
另外,當時,
由(Ⅰ)可知函數(shù)在
上是減函數(shù),
,
.
綜上,對.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是九江市2019年4月至2020年3月每月最低氣溫與最高氣溫(℃)的折線統(tǒng)計圖:已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關系數(shù)r=0.83,則下列結論錯誤的是( )
A.每月最低氣溫與最高氣溫有較強的線性相關性,且二者為線性正相關
B.月溫差(月最高氣溫﹣月最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在10月
C.9﹣12月的月溫差相對于5﹣8月,波動性更大
D.每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在前6個月逐月增加
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年上半年,隨著新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超過
個國家或地區(qū)宣布進人緊急狀態(tài),部分國家或地區(qū)直接宣布“封國”或“封城”,隨著國外部分活動進入停擺,全球經(jīng)濟缺乏活力,一些企業(yè)開始倒閉,下表為
年第一季度企業(yè)成立年限與倒閉分布情況統(tǒng)計表:
企業(yè)成立年份 | 2019 | 2018 | 2017 | 2016 | 2015 |
企業(yè)成立年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
倒閉企業(yè)數(shù)量(萬家) | 5.28 | 4.72 | 3.58 | 2.70 | 2.15 |
倒閉企業(yè)所占比例 | 21.4% | 19.1% | 14.5% | 10.9% | 8.7% |
(1)由所給數(shù)據(jù)可用線性回歸模型擬合與
的關系,請用相關系數(shù)加以說明;
(2)建立關于
的回歸方程,預測
年成立的企業(yè)中倒閉企業(yè)所占比例.
參考數(shù)據(jù):,
,
,
,
相關系數(shù),樣本
的最小二乘估計公式為
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
,
,其中常數(shù)
.
(Ⅰ)若,求
的取值范圍;
(Ⅱ)若,求證:對于任意的
,均有
;
(Ⅲ)當常數(shù)時,設
,若存在實數(shù)
使得
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),對于函數(shù)
有下述四個結論:①函數(shù)
在其定義域上為增函數(shù);②對于任意的
,
,都有
成立;③
有且僅有兩個零點;④若
,則
在點
處的切線與
在點
處的切線為同一直線.其中所有正確的結論有( )
A.①②③B.①③C.②③④D.③④
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