Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間．（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導函數(shù)，利用，即可分析出的符號，即可判斷函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）方法一：根據(jù)不等式，構造函數(shù)，求得導函數(shù)，再構造函數(shù)，并求得，由的符號可判斷的單調性、零點與最小值，進而得的符號，即可判斷的單調性，從而求得的最小值，即可證明不等式成立；方法二：構造函數(shù)，求得導函數(shù)可得的單調性與最值，從而可證明，結合（Ⅰ）可得，結合兩式即可證明不等式成立.

（Ⅰ）函數(shù)，則定義域為，

，

，

，

，

，

（當且僅當時取等號），

的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間．

（Ⅱ）證法一：令函數(shù)，

則

，

顯然．

令函數(shù)，

則，

由（Ⅰ）知，

，

，

所以，

在上是增函數(shù)，

且，

當時，即，所以單調遞減，

當時，即，所以單調遞增．

的最小值為，

，

．

證法二：令函數(shù)，

定義域為，

，

函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，

，

，①

又，②

①+②得，

即當時，．

另外，當時，

由（Ⅰ）可知函數(shù)在上是減函數(shù)，

，

．

綜上，對.