Question

2．我們國家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬，為了解老人們的健康狀況，政府從   老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能   自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行  統(tǒng)計(jì)，樣本分布被制作成如圖表：
（1）若采取分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取16人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？
（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)  放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；②80歲以下   老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100    元．試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算．

Answer 1

分析 （Ⅰ）數(shù)據(jù)整理如下表：

健康狀況	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80歲及以上	20	45	20	15
80歲以下	200	225	50	25

利用頻率計(jì)算公式即可得出．
（Ⅱ）在600人中80歲及以上長者在老人中占比為：$\frac{15+20+45+20}{600}$，用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長者共有$66×\frac{1}{6}=11$萬，即可得出80歲及以上長者占戶籍人口的百分比．
（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，P（X=0）=$\frac{4}{5}$，P（X=120）=$\frac{1}{5}$×$\frac{475}{600}$，P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$，P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$，P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$，及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)據(jù)整理如下表：

健康狀況	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80歲及以上	20	45	20	15
80歲以下	200	225	50	25

從圖表中知不能自理的80歲及以上長者占比為：$\frac{15}{15+25}$=$\frac{3}{8}$，
故抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數(shù)為16×$\frac{3}{8}$=6.80歲以下長者人數(shù)為10人
（Ⅱ）在600人中80歲及以上長者在老人中占比為：$\frac{15+20+45+20}{600}$=$\frac{1}{6}$，
用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長者共有$66×\frac{1}{6}=11$萬，
80歲及以上長者占戶籍人口的百分比為$\frac{11}{400}×$100%=2.75%．
（Ⅲ）用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，
P（X=0）=$\frac{4}{5}$，P（X=120）=$\frac{1}{5}$×$\frac{475}{600}$=$\frac{95}{600}$，P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$=$\frac{17}{600}$，
P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$=$\frac{5}{600}$，P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$=$\frac{3}{600}$，
則隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	120	200	220	300
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{95}{120}$	$\frac{17}{600}$	$\frac{6}{600}$	$\frac{3}{600}$

EX=0×$\frac{4}{5}$+120×$\frac{95}{600}$+200×$\frac{17}{600}$+220×$\frac{5}{600}$+300×$\frac{3}{600}$=28，
全市老人的總預(yù)算為28×12×66×10⁴=2.2176×10⁸元．
政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為2.2176億元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率計(jì)算公式、隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．