Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+\frac{3}{2}$．
（1）當$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，討論函數(shù)y=f（x）的單調性；
（2）已知ω＞0，函數(shù)$g（x）=f（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{12}）$，若函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}}]$上是增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦的定義域和值域求得f（x）的單調性．
（2）利用正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，求得ω的范圍，可得ω的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+2$．
∵$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
所以，$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，即$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$時，y=f（x）增，
$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，即$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$時，y=f（x）減，
∴函數(shù)y=f（x）在$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$上增，在$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上減．…（6分）
（2）$g（x）=sin（2（\frac{ωx}{2}-\frac{π}{12}）+\frac{π}{6}）+2$=sin（ωx）+2，
要使g（x）在$[-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}]$上增，只需$-\frac{π}{2ω}≤-\frac{2π}{3}$，即$ω≤\frac{3}{4}$，
所以ω的最大值為$\frac{3}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，屬于中檔題．