Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=5-2t}\\{y=3-t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），定點(diǎn)P（1，1）．
（Ⅰ）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，單位長度與平面直角坐標(biāo)系下的單位長度相同建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的參數(shù)方程求出圓C的一般方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）依題意得點(diǎn)P（1，1）在直線l上，從而直線l的參數(shù)方程又可以表示為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=1-t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），代入圓C的一般方程，得5t²-2t-3=0，設(shè)點(diǎn)A，B分別對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，由此能求出||PA|-|PB||的值．

解答 解：（Ⅰ）依題意得圓C的一般方程為（x-1）²+y²=4，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得ρ²-2ρcosθ-3=0，
所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-3=0．…（4分）
（Ⅱ）依題意得點(diǎn)P（1，1）在直線l上，
所以直線l的參數(shù)方程又可以表示為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-2t}\\{y=1-t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓C的一般方程為（x-1）²+y²=4，得5t²-2t-3=0，
設(shè)點(diǎn)A，B分別對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=\frac{2}{5}＞0，{t_1}{t_2}=-\frac{3}{5}＜0$，
所以t₁，t₂異號，不妨設(shè)t₁＞0，t₂＜0，
所以$|{PA}|=\sqrt{5}{t_1}，|{PB}|=-\sqrt{5}{t_2}$，
所以$|{|{PA}|-|{PB}|}|=\sqrt{5}（{{t_1}+{t_2}}）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段差的絕對值的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．