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10.設(shè)函數(shù)fx=lnxax1x1
(1)當a=1時,求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當a=34時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(2)的條件下,設(shè)函數(shù)gx=x22bx512,若對于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),計算f(1),f′(1)的值,求出切線方程即可;
(2)求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值114,通過討論b的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而確定b的范圍即可.

解答 解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
fx=1xa+1x2
(1)當a=1時,fx=lnxx1x1,∴f(1)=-3,
fx=1x1+1x2,∴f'(1)=1,
∴f(x)在x=1處的切線方程為y-3=x-1,
即x-y-4=0.
(2)當a=34時,fx=3x24x44x2=x23x+24x2
所以當0<x<2,f'(x)>0,當x>2時,f'(x)<0,
故當a=34時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞).
(3)當a=34時,由(2)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為f1=114
若對于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立
?g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值114(※).
gx=x22bx512=xb2b2512x[01]
①當b<0時,g(x)在[0,1]上為增函數(shù),
gxmin=g0=512114與(※)矛盾.
②當0≤b≤1時,gxmin=gb=b2512,
b2512114及0≤b≤1得b無解.
③當b>1時,g(x)在[0,1]上為減函數(shù),
gxmin=g1=7122b114,此時b53
綜上所述,b的取值范圍是[53+

點評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道綜合題.

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