分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),計算f(1),f′(1)的值,求出切線方程即可;
(2)求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值−114,通過討論b的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而確定b的范圍即可.
解答 解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=1x−a+1x2.
(1)當a=1時,f(x)=lnx−x−1x−1,∴f(1)=-3,
f′(x)=1x−1+1x2,∴f'(1)=1,
∴f(x)在x=1處的切線方程為y-3=x-1,
即x-y-4=0.
(2)當a=34時,f′(x)=−3x2−4x−44x2=−(x−2)(3x+2)4x2.
所以當0<x<2,f'(x)>0,當x>2時,f'(x)<0,
故當a=34時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞).
(3)當a=34時,由(2)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為f(1)=−114.
若對于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2)成立
?g(x)在[0,1]上的最小值不大于f(x)在[1,2]上的最小值−114(※).
又g(x)=x2−2bx−512=(x−b)2−b2−512,x∈[0,1].
①當b<0時,g(x)在[0,1]上為增函數(shù),
g(x)min=g(0)=−512>−114與(※)矛盾.
②當0≤b≤1時,g(x)min=g(b)=−b2−512,
由−b2−512≤−114及0≤b≤1得b無解.
③當b>1時,g(x)在[0,1]上為減函數(shù),
g(x)min=g(1)=712−2b≤−114,此時b≥53.
綜上所述,b的取值范圍是[53,+∞).
點評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,0) | B. | (0,1) | C. | (-∞,1] | D. | [1,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 15 | C. | 2 | D. | 0或2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①③ | D. | ①②③ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x=-3為f(x)的極大值點 | B. | x=1為f(x)的極大值點 | ||
C. | x=-1.5為f(x)的極大值點 | D. | x=2.5為f(x)的極小值點 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | √3 | C. | 2 | D. | √2 |
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