Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，2），B（-2，0），C（1，0），分別以△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABEF與ACGH，
（I）求直線FH的一般式方程；
（II）過直線FH上任意一點P作圓x²+y²=1的切線，當切線長最短時求出P點坐標；
（III）過點（6，2）作圓x²+y²=1的兩條切線，切點為M，N，求直線MN的一般式方程．

Answer 1

分析 （1）設F（x，y），列方程求出F，H的坐標，得出FH的方程；
（2）過圓心O向直線FH作垂線，垂足即為P點；
（3）設M（x，y），R（6，2），根據(jù)OM⊥RM，列方程化簡即可得出MN的方程．

解答 解：（1）∵點A（0，2），B（-2，0），C（1，0），
∴k_AB=1，k_AC=-2，AB=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，
∴k_AF=-1，k_AH=$\frac{1}{2}$，
設F（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x}=-1}\\{\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴F（-2，4），同理可得H（2，3），
∴直線FH的方程為$\frac{y-3}{4-3}=\frac{x-2}{-2-2}$，化簡得x+4y-14=0．
（2）設切點為Q，則OQ⊥PM，由勾股定理可得OP²=OQ²+PQ²，
∴當OP最小時，切線長PQ取得最小值．
當OP取得最小值時，OP⊥FH，設P（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=4}\\{x+4y-14=0}\end{array}\right.$，解得$P（\frac{14}{17}，\frac{56}{17}）$．
（3）設M（x，y），R（6，2），則k_RM•k_OM=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{\frac{y-2}{x-6}•\frac{y}{x}=-1}\end{array}\right.$，化簡得：6x+2y-1=0．
∴直線MN的一般式方程為6x+2y-1=0．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，直線方程，屬于中檔題．