分析 (1)利用已知條件求出a,c,得到b,然后求解橢圓方程.
(2)設D(x1,y1),C(x2,y2),由{y=kx+mx2+4y2=4消去y后,利用韋達定理以及△>0,求解k即可.
(3)利用(2)化簡所求的表達式為m的關系式,通過m∈(0,√32]滿足m2<2,然后求解結果.
解答 解:(1)由|AB|=4,|F1F2|=2√3,可知a=2,c=√3,則b=1,
即橢圓方程為x24+y2=1…..…..(4分)
(2)設D(x1,y1),C(x2,y2)易知A(−2,0),B(2,0),N(0,m),M(−mk,0)….(5分)
由{y=kx+mx2+4y2=4消去y整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由△>0⇒4k2-m2+1>0即m2<4k2+1,x1+x2=−8km1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2…(6分)
且|CM|=|DN|即→CM=→ND可知x1+x2=−mk,即−8km1+4k2=−mk,解得k=12….(8分)
(3)(k1k2)2=y21(x2−2)2y22(x1+2)2=4−x214(x2−2)24−x224(x1+2)2=(2−x1)(2−x2)(2+x1)(2+x2)=4−2(x1+x2)+x1x24+2(x1+x2)+x1x2=(m+1m−1)2,
由題知,點M、F1的橫坐標xM≥xF1,有−2m≥−√3,
易知m∈(0,√32]滿足m2<2.
即k1k2=−m+1m−1=−1+21−m,則k1k2∈(1,7+4√3]…(11分).
所以{({\frac{k_1}{k_2}})^2}∈({1,97+56}\right.\left.{\sqrt{3}}]…..(12分).
點評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關系的綜合應用,考查轉化思想以及計算能力.
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A. | [-4,10) | B. | [-5,2] | C. | [-4,3] | D. | [-2,5] |
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