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19.如圖,橢圓E的左右頂點分別為A、B,左右焦點分別為F1、F2|AB|=4|F1F2|=23,
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)直線y=kx+m(k>0)交橢圓于C、D兩點,與線段F1F2及橢圓短軸分別交于M、N兩點(M、N不重合),且|CN|=|DM|.求k的值;
(3)在(2)的條件下,若m>0,設直線AD、BC的斜率分別為k1、k2,求k12k22的取值范圍.

分析 (1)利用已知條件求出a,c,得到b,然后求解橢圓方程.
(2)設D(x1,y1),C(x2,y2),由{y=kx+mx2+4y2=4消去y后,利用韋達定理以及△>0,求解k即可.
(3)利用(2)化簡所求的表達式為m的關系式,通過m032]滿足m2<2,然后求解結果.

解答 解:(1)由|AB|=4|F1F2|=23,可知a=2c=3,則b=1,
即橢圓方程為x24+y2=1…..…..(4分)
(2)設D(x1,y1),C(x2,y2)易知A20B20N0mMmk0….(5分)
{y=kx+mx2+4y2=4消去y整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由△>0⇒4k2-m2+1>0即m2<4k2+1,x1+x2=8km1+4k2x1x2=4m241+4k2…(6分)
且|CM|=|DN|即CM=ND可知x1+x2=mk,即8km1+4k2=mk,解得k=12….(8分)
(3)k1k22=y21x222y22x1+22=4x214x2224x224x1+22=2x12x22+x12+x2=42x1+x2+x1x24+2x1+x2+x1x2=m+1m12,
由題知,點M、F1的橫坐標xMxF1,有2m3,
易知m032]滿足m2<2.
k1k2=m+1m1=1+21m,則k1k217+43]…(11分).
所以{({\frac{k_1}{k_2}})^2}∈({1,97+56}\right.\left.{\sqrt{3}}]…..(12分).

點評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關系的綜合應用,考查轉化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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