Question

19．如圖，橢圓E的左右頂點分別為A、B，左右焦點分別為F₁、F₂，$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）直線y=kx+m（k＞0）交橢圓于C、D兩點，與線段F₁F₂及橢圓短軸分別交于M、N兩點（M、N不重合），且|CN|=|DM|．求k的值；
（3）在（2）的條件下，若m＞0，設直線AD、BC的斜率分別為k₁、k₂，求$\frac{{{k_1}^2}}{{{k_2}^2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出a，c，得到b，然后求解橢圓方程．
（2）設D（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$消去y后，利用韋達定理以及△＞0，求解k即可．
（3）利用（2）化簡所求的表達式為m的關系式，通過$m∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$滿足m²＜2，然后求解結果．

解答 解：（1）由$|{AB}|=4，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，可知$a=2，c=\sqrt{3}$，則b=1，
即橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…..…..（4分）
（2）設D（x₁，y₁），C（x₂，y₂）易知$A（{-2，0}），B（{2，0}），N（{0，m}），M（{-\frac{m}{k}，0}）$…．（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$消去y整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△＞0⇒4k²-m²+1＞0即m²＜4k²+1，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（6分）
且|CM|=|DN|即$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ND}$可知${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k}$，即$\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=\frac{1}{2}$…．（8分）
（3）${（{\frac{k_1}{k_2}}）^2}=\frac{{y_1^2{{（{{x_2}-2}）}^2}}}{{y_2^2{{（{{x_1}+2}）}^2}}}=\frac{{\frac{4-x_1^2}{4}{{（{{x_2}-2}）}^2}}}{{\frac{4-x_2^2}{4}{{（{{x_1}+2}）}^2}}}=\frac{{（{2-{x_1}}）（{2-{x_2}}）}}{{（{2+{x_1}}）（{2+{x_2}}）}}=\frac{{4-2（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}}{{4+2（{{x_1}+{x_2}}）+{x_1}{x_2}}}={（{\frac{m+1}{m-1}}）^2}$，
由題知，點M、F₁的橫坐標${x_M}≥{x_{F_1}}$，有$-2m≥-\sqrt{3}$，
易知$m∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$滿足m²＜2．
即$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{m+1}{m-1}=-1+\frac{2}{1-m}$，則$\frac{k_1}{k_2}∈（{1，7+4\sqrt{3}}]$…（11分）．
所以${（{\frac{k_1}{k_2}}）^2}∈（{1，97+56}\right.\left.{\sqrt{3}}]$…..（12分）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．