Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-1-2alnx（a≠0），求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性和極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x²-1-2alnx（a≠0）∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，且$f'（x）=2x-\frac{2a}{x}=\frac{{2（{x^2}-a）}}{x}$
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0，且x²-a＞0，
∴f'（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)
令f'（x）=0，即x²-a=0，解得$x=\sqrt{a}$或$x=-\sqrt{a}$（舍去）
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	$（0，\sqrt{a}）$	$\sqrt{a}$	$（\sqrt{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴$當(dāng)x=\sqrt{a}$時(shí)，f（x）取得極小值，極小值為$f（\sqrt{a}）={（\sqrt{a}）^2}-1-2aln\sqrt{a}=a-1-alna$．
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在$x=\sqrt{a}$處取得極小值a-1-alna．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和極值，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，考查分類討論思想，屬于中檔題．