14．計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求未來(lái)3年中，設(shè)ξ表示流量超過(guò)120的年數(shù)，求ξ的分布列及期望；
（Ⅱ）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：
年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元，若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

分析 （Ⅰ）依題意P（X＞120）=0.1，由二項(xiàng)分布ξ～B（3，0.1），計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；
（Ⅱ）記水電站的總利潤(rùn)為Y，計(jì)算 ①安裝1臺(tái)發(fā)點(diǎn)機(jī)時(shí)的年利潤(rùn)Y與E（Y）值，②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí)的年利潤(rùn)E（Y）值，③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)時(shí)的年利潤(rùn)E（Y）值，比較即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，P（X＞120）=0.1，…（1分）
由二項(xiàng)分布可知，ξ～B（3，0.1）；
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•（1-0.1）3=0.729，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•0.1•（1-0.1）2=0.243，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•0.12•（1-0.1）=0.027，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•0.13=0.001，…（4分）
所以ξ的分布列為：

ξ0123
P0.7290.2430.0270.001
數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=3×0.1=0.3；…（6分）
（Ⅱ）記水電站的總利潤(rùn)為Y（單位：萬(wàn)元），
 ①假如安裝1臺(tái)發(fā)點(diǎn)機(jī)，由于水庫(kù)年入流總量大于40，
故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000，
E（Y）=5000×1=5000；    …（7分）
 ②若安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)，
當(dāng)40＜X＜80時(shí)，只一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000-800=4200，P（Y=4200）=0.2，
當(dāng)X≥80時(shí)，2臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×2=10000，P（Y=10000）=0.8，
E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．…（9分）
③若安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)，
當(dāng)40＜X＜80時(shí)，1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000-2×800=3400，P（Y=3400）=0.2，
當(dāng)80≤X≤120時(shí)，2臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×2-800=9200，P（Y=9200）=0.7，
當(dāng)X＞120時(shí)，3臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×3=15000，P（Y=15000）=0.1，
E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620；      …（11分）
綜上可知，欲使總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．

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