Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，四邊形為矩形，，，.

（1）求證：平面；

（2）設，求平面與平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）證明BC平面SDC，即可證得AD平面SDC，即可證得SCAD，利用SC2+SD2=DC2證得SCSD，問題得證。

（2）以點O為原點，建立坐標系如圖，求得S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)，利用即可求得E(2,,0)，求得 ， ，利用空間向量夾角公式計算即可得解。

（1）證明： BCSD ，BCCD

則BC平面SDC, 又

則AD平面SDC，平面SDC

SCAD

又在△SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2

則SCSD ，又

所以 SC平面SAD

（2）解：作SOCD于O，因為BC平面SDC,

所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD

以點O為原點，建立坐標系如圖.

則S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)

設E(2,y,0),因為

所以 即E((2,,0)

令，則，

，令，則，

所以所求二面角的正弦值為