Question

4．已知過(guò)點(diǎn)P（2，-2）的直線l與曲線y=$\frac{1}{3}$x³-x相切，則直線l的方程為y=-x或y=8x-18．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x₀處的切線斜率，可得切線方程，代入切點(diǎn)，便可建立關(guān)于x₀的方程．求得x₀，從而求得過(guò)點(diǎn)且與曲線C相切的直線方程．

解答 解：設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀≠0），∵y=$\frac{1}{3}$x³-x，
∴y′=x₀²-1．
∴切線方程為y+2=（x₀²-1）（x-2）
∴y₀+2=（x₀²-1）（x₀-2）
∵y₀=$\frac{1}{3}$x₀³-x₀，
∴$\frac{1}{3}$x₀³-x₀+2=（x₀²-1）（x₀-2）
∴x₀=0，或x₀²=3，∴k=x₀²-1=8或-1，
故直線l的方程y=-x或y=8x-18．
故答案為：y=-x或y=8x-18．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出直線的方程，是一道綜合題．