Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數在區(qū)間上存在極值，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）設，對任意恒有，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）求出導函數得到斜率，利用點斜式得到切線方程；

（Ⅱ）求出函數的極值，再探討函數在區(qū)間 （m，m）（其中a＞0）上存在極值，尋找關于m的不等式，求出實數m的取值范圍；

（Ⅲ）先求導，再構造函數h（x）＝lnx，求出h（x）的最大值小于0即可．

解：（I）.

故切線的斜率為，又f（e）=

∴切線方程為：，即

（II）.當時，

當x>l時，

f（x）在（0，1）上單調遞增,在（1.+）上單調遞減。

故f（x）在x=l處取得極大值。

∵f(x)在區(qū)間（m，m+）（m>0）上存在極值，

∴0<m<1且m+>1，解得

（Ⅲ）.由題可知.a≠0，且

,

,

當a<0時，g（x）>0.不合題意。

當a>0時，由可得恒成立

設，則

求導得：

設

①當0<a≤l時，△≤0，此時：

∴h（x）在（0，1）內單調遞增，又h（l）=0，所以h（x）<h（l）=0.

所以0<a≤l符合條件.

②當a>1時，△>0，注意到t（0）=1，t（1）=4（1-a）<0，存在xo（0，1），使得t（x0）=0，

于是對任意，t（x）<0，h’（x）<0.則h（x）在（xo，1）內單調遞減，又h（l）=0，所以當時，h（x）>0，不合要求，

綜合①②可得0<a≤1