Question

9．定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞-xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0=f（3）=f（-3），令函數(shù)h（x）=xf（x），分析可得h（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)其求導(dǎo)可得h′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），分析可得h′（x）＞0，即可得x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）是增函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)分析可得x＜0時(shí)，h（x）是減函數(shù)，結(jié)合題意，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，y=f（x）是R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
又由f（x）滿足f（3）=0，則有f（0）=0=f（3）=f（-3），
令函數(shù)h（x）=xf（x），h（-x）=-xf（-x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函數(shù)，
又x＞0時(shí)，f（x）＞-xf'（x）恒成立，即f（x）+xf'（x）＞0恒成立，
對(duì)于函數(shù)h（x），則有h′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＞0
則x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）是增函數(shù)，
又∴x＜0時(shí)，h（x）是減函數(shù)，
結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)镽，且g（0）=g（3）=g（-3）=0，
所以函數(shù)g（x）=xf（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，涉及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，注意函數(shù)的單調(diào)性的充分應(yīng)用．