Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+bx-alnx．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+5x-5=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+bx-alnx在（1，2）上單調(diào)遞減，試求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若x₀是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，且x₀∈（n，n+1），n∈N^*，求n的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）將a=1代入f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出b的范圍即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，從而求出n的值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2x+b-\frac{a}{x}$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=2+b-a=-5}\\{f（1）=1+b=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{b=-1}\\{a=6}\end{array}}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²-x-6lnx（x＞0）；…（3分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）={x^2}+bx-lnx，f'（x）=2x+b-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}+bx-1}}{x}$，
只考慮分子即可，設(shè)F（x）=2x²+bx-1，
可知$\left\{{\begin{array}{l}{F（1）=2+b-1≤0}\\{F（2）=2×{2^2}+2b-1≤0}\end{array}⇒b≤-\frac{7}{2}}\right.$，
故b的取值范圍為$（{-∞，-\frac{7}{2}}]$…（6分）
（3）$f（x）={x^2}-x-6lnx⇒f'（x）=2x-1-\frac{6}{x}=\frac{{2{x^2}-x-6}}{x}$，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)閤＞0，
$f'（x）=\frac{{（{2x+3}）（{x-2}）}}{x}=0⇒x=-\frac{3}{2}或x=2$，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
且函數(shù)f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，
其中f（1）=0，不符合要求，
f（3）=6（1-ln3）＜0，$f（4）=6（{2-ln4}）=6ln\frac{e^2}{4}＞0$，
∴x₀∈（3，4），故n=3…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．