Question

8．漳州市博物館為了保護一件珍貴文物，需要在館內(nèi)一種透明又密封的長方體玻璃保護罩內(nèi)沖入保護液體，該博物館需要支付的總費用由兩部分組成；①罩內(nèi)該種液體的體積比保護罩的溶積少0.5立方米，且每立方米液體費用500元；②需支付一定的保險用，且支付的保險費用與保護罩溶積成反比，當溶積為2立方米時，支付的保險費用為4000元
（Ⅰ）求該博物館支付總費用y與保護罩溶積x之間的函數(shù)關系式
（Ⅱ）求該博物館支付總費用的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由需要支付的總費用由兩部分組成，當容積為2立方米時，支付的保險費用為4千元，可求比例系數(shù)，從而可求支付總費用y與保護罩容積x之間的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y=500x+$\frac{8000}{x}$-250，利用基本不等式可求出當且僅當500x=$\frac{8000}{x}$，博物館支付總費用的最小值．

解答 解：（Ⅰ）依據(jù)題意，當保護罩體積等于x時，保險費用為$\frac{k}{x}$（其中k為比例系數(shù)，k＞0）
且當x=2時，$\frac{k}{2}$=4000，∴k=8000，
∴y=500（x-0.5）+$\frac{8000}{x}$=500x+$\frac{8000}{x}$-250（x＞0.5）．（單位：元）
（Ⅱ）y=500x+$\frac{8000}{x}$-250≥2$\sqrt{500x•\frac{8000}{x}}$-250=3750
當且僅當500x=$\frac{8000}{x}$，即x=4立方米時不等式取得等號．
所以，博物館支付總費用的最小值為3750元．

點評 本題考查函數(shù)模型的構建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關鍵是構建函數(shù)，注意基本不等式的使用條件．