Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程； 
（2）求直線l與曲線C相交弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入極坐標(biāo)方程即可得出答案；
（2）把直線參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程化簡，利用參數(shù)的幾何意義得出AB的長．

解答 解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcos\frac{π}{4}\\ y=tsin\frac{π}{4}\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$得，$\frac{5}{2}{t^2}+\sqrt{6}t-1=0$，
所以$△={（{\sqrt{6}}）^2}-4×\frac{5}{2}×（{-1}）=16＞0$，
設(shè)方程的兩根t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=-\frac{{2\sqrt{6}}}{5}，{t_1}{t_2}=-\frac{2}{5}$，
∴$AB=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{5}}）-4×（{-\frac{2}{5}}）}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．