Question

11．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x-1，x∈{R}$．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x+t）的圖象關于點$（-\frac{π}{6}，0）$對稱，且t∈（0，π），求t的值．
（2）設$p：x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]，q：|f（x）-m|＜3．若p是q$的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）的表達式，利用圖象關于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱，建立條件關系即可求t的值；
（2）求出當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，函數(shù)f（x）的值域，利用p是q的充分條件，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=-cos2（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），
∵h（x）=f（x+t）的圖象關于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱
∴h（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$×2+2t-$\frac{π}{3}$）=2sin（2t-$\frac{2π}{3}$）=0，
即2t-$\frac{2π}{3}$=0+kπ，
∴t=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，
∵t∈（0，π），
∴當k=0時，t=$\frac{π}{3}$，
當k=1時，t=$\frac{5π}{6}$．
（2）∵|f（x）-m|＜3，
∴：-3＜f（x）-m＜3，
即m-3＜f（x）＜m+3，
當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
此時2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
即f（x）∈[1，2]，
要使p是q的充分條件，
則 $\left\{\begin{array}{l}{m-3≤1}\\{m+3≥2}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{m≤4}\\{m≥-1}\end{array}\right.$，
∴-1≤m≤4，
即實數(shù)m的取值范圍是[-1，4]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，要求熟練掌握三角函數(shù)的周期，對稱性和最值的性質，涉及的知識點較多，綜合性較強，運算量較大．